Арифметика

Аллегория Бернардино Пинтуриккьо «Aridmetrica» (1492—96), апартаменты Борджа в Ватикане

Арифметика — наука о числах, одна из древнейших математических дисциплин, первая из «свободных искусств» средневекового квадривиума

«'Αριθμον, ἒξοχον σοφισματων»

(«Изобрёл для них науку чисел, из наук важнейшую» Эсхил «Прометей прикованный»)

Происхождение термина

Общепринято мнение, что термин «арифметика» происходит из греческих слов:

• αριθμεω — считать, платить
• αριθμητικος — относящийся к счёту, умеющий считать
• αριθμητικη — арифметика, искусство или умение считать

Античные легенды сообщают (см. цитату из Эсхила выше), что люди обучились этому искусству от титана Прометея. Первыми мастерами арифметики считались халдеи, египтяне и евреи, которые использовали арифметику в гадательных целях, а затем это искусство перешло к грекам, начиная с Пифагора, которые сделали из него абстрактную науку.

В диалоге Платона «Федр» изобретение арифметики (а также астрономии, геометрии и письменности) приписано богу Тевту, которого современные комментаторы считают за Тота:

«Сократ. Так вот, я слышал, что близ египетского Навкратиса родился один из древних тамошних богов, которому посвящена птица, называемая ибисом. А самому божеству имя было Тевт. Он первый изобрёл число, счёт, геометрию, астрономию, вдобавок игру в шашки и в кости, а также и письмена. Царём над всем Египтом был тогда Тамус, правивший в великом городе верхней области, который греки называют египетскими Фивами, а его бога — Аммоном. Придя к царю, Тевт показал свои искусства и сказал, что их надо передать остальным египтянам. Царь спросил, какую пользу приносит каждое из них. Тевт стал объяснять, а царь, смотря по тому, говорил ли Тевт, по его мнению, хорошо или нет, кое–что порицал, а кое–что хвалил. По поводу каждого искусства Тамус, как передают, много высказал Тевту хорошего и дурного, но это было бы слишком долго рассказывать. Когда же дошёл черёд до письмён, Тевт сказал: «Эта наука, царь, сделает египтян более мудрыми и памятливыми, так как найдено средство для памяти и мудрости». Царь же сказал: «Искуснейший Тевт, один способен порождать предметы искусства, а другой — судить, какая в них доля вреда или выгоды для тех, кто будет ими пользоваться. Вот и сейчас ты, отец письмен, из любви к ним придал им прямо противоположное значение. В души научившихся им они вселят забывчивость, так как будет лишена упражнения память: припоминать станут извне, доверяясь письму, по посторонним знакам, а не изнутри, сами собою. Стало быть, ты нашёл средство не для памяти, а для припоминания. Ты даёшь ученикам мнимую, а не истинную мудрость. Они у тебя будут многое знать понаслышке, без обучения, и будут казаться многознающими, оставаясь в большинстве невеждами, людьми трудными для общения; они станут мнимомудрыми вместо мудрых».

Федр. Ты, Сократ, легко сочиняешь египетские и какие тебе угодно сказания.»

Иосиф Флавий в «Иудейских древностях» сообщает, что египтяне ознакомились с арифметикой через Авраама, а потом она распространилась и к грекам:

«Затем он преподал им арифметику и сообщил сведения по астрономии, в которых египтяне до прибытия Авраама были совершенно несведущи. Таким образом эти науки перешли от халдеев в Египет, а оттуда уже и к грекам.» ([3, ИД, 1:8])

Между прочим «Иудейская война», приписываемая тому же Иосифу Флавию в своём древнерусском варианте содержит «задачу Иосифа Флавия», относящуюся к разделу «увеселительной арифметики». Праотец Авраам считается автором первой книги каббалистического канона «Сефер Йецира» (Книга Творения), в которой излагаются начала гадательной арифметики (арифмомантии).

Греческий писатель Диоген Лаэртский, а также академик РАН В.И. Арнольд приписывают создание арифметики египетскому богу Тоту, а греческий географ Страбон — финикийцам.

Место арифметики в науке

Согласно современному определению:

«Арифметика — область знаний о числах и операциях в числовых множествах.» ([6, т. 1, стб. 314])

Свойства операций над числами является предметом алгебры, а свойства самих чисел — теории чисел.

Аксиоматическое обоснование арифметики было завершено к концу XIX века, работами Рихарда Юлиуса Вильгельма Дедекинда (Richard Dedekind, 6.10.1831–12.2.1916) и Джузеппе Пеано (Giuseppe Peano, 27.8.1858–20.4.1932).

Арифметика чисел разного типа была обоснована:

• Карлом Теодором Вильгельмом Вейерштрассом (Karl Theodor Wilhelm Weierstraß, 31.10.1815–19.02.1897) — рациональные и вещественные числа;
• Георгом Кантором (Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, 03.03.1845–06.01.1918) — вещественные числа;
• Каспаром Весселем (Caspar Wessel, 08.06.1745–25.03.1818), Жаном Робером Арганом (Jean-Robert Argand, 18.07.1768–13.08.1822) и Карлом Фридрихом Иоганном Гауссом (Johann Carl Friedrich Gauß, 30.04.1777–23.02.1855) — комплексные числа.

На непротиворечивость арифметики вещественных чисел опирается непротиворечивость геометрии Евклида, а на последнюю — непротиворечивость геометрии Лобачевского. Вместе с тем, согласно результату Курта Гёделя (Kurt Friedrich Gödel, 28.04.1906–14.01.1978) 1931 года, непротиворечивость «формальной арифметики»,— теории, формализующей элементарную теорию чисел, недоказуема в этой системе. Герхард Генцен (Gerhard Karl Erich Gentzen, 24.11.1909–04.08.1945) в 1936 году доказал, что непротиворечивость формальной арифметики вытекает, если использовать трансфинитную индукцию, но при этом, по теореме Гёделя, недоказуема непротиворечивость расширенной системы в своих собственных рамках.

Изобретение знаков арифметических операций

«... обычное исчисление десятками не представляется слишком древним; по крайней мере, греки и римляне его не знали и были лишены его преимуществ. Кажется, что Европа обязана его введением Герберту — впоследствии папе, носившему имя Сильвестра II, который его (этот счёт) получил от испанских мавров.» (Лейбниц Г.В. «Объяснение двоичного исчисления»// Мемуар Академии Наук, 1703)

• современный знак равенства «=» изобретён Робертом Рикордом (Robert Recorde, 1510–1558), математиком, астрологом и врачом английского короля Эдуарда VI в книге «Оселок остроумия» (The Whetstone of Witte, 1557). Прототипом этого знака являлся астрологический символ созвездия Близнецов

Первые издания арифметических книг и текстов

Арифметике посвящены 7, 8 и 9 книги «Начал» Евклида: здесь излагаются алгоритм отыскания наибольшего общего делителя («алгоритм Евклида»), теоремы о простых числах, обосновываются коммутативность и дистрибутивность умножения натуральных чисел.

В «Арифметике» Диофанта излагаются правила действий со степенями, действия с отрицательными числами, используется нуль.

В «Трактате об искусстве счёта» Сакробоско содержится описание действий с натуральными числами: сложения, вычитания, умножения, деления пополам, извлечения корня, используется нуль.

Начало книгопечатания принесло множество трактатов по арифметике, часто анонимных «Алгоризмов», но иногда сохранивших имя автора: «О пропорциях» — Альберт Саксонский (Падуя, 1477), Томас Брадвардин (Париж, 1481), Никола Орем (Париж, 1481); «Книга счёта» Вагнео (Бамберг, 1482).

Другие известные тексты:

• «Opus elementorum Euclidis Megarensis in geometriam artem, in id quoque Campani commentationes» (Венеция, 25 мая 1482 г.) — первое печатное издание Евклида Эргарда Ратдольта, считающееся переводом Дж. Кампануса «Начал» с арабского языка
• «Tractatus de arte numerandi, Algorismus domini Joannis de Sacro Bosco» — пособие по арифметике Сакробоско, опубликовано в Страссбурге в 1488 году
• «Protomathesis» — сочинение по арифметике, геометрии, астрономии и тригонометрии в 15 книгах первого профессора математики в Коллеж де Франс Оронса Фине (Oronce Finé, Orontius Fin(n)aeus Delphinatus, 1494—1555), излагающая 60–ричную систему исчисления, опубликована в Париже в 1532
• арифметика, алгебра и геометрия на еврейском языке «דפםמה תבאלמ» Илии Мизрахи (ум. 1526) (Константинополь, 1534)
• публикация «Псаммита» Архимеда в книге Ф. Коммандино «Archimedes Opera nonnula: Circuli dimensio, de lineis spiralibus, quadratura paraboles, de conoidibus et spheroidibus, de arenae numero» (Venetiis: Apud Paulum Manutium, 1558)
• «Diophanti Alexandrini rerum arithmeticarum libri sex quorum primi duo adjecta habent scholia Maximi (ut conjectura est) Planudis. item liber de numeris polygonis seu multianglis... a Guil. Xylandro Augustano incredibili labore latin redditum, et commentariis explanatum, inque lucem editum» (Basileae, 1575) — первое печатное издание Диофанта выполненное Вильгельмом Гольцманом (Ксиландром)
• «La Disme. Enseignant facilement expedier par nombres entiers sans rompuz, tous comptes se rencontrans aux affaires des Hommes. Premierement descripte en Flameng, et maintenant convertie en François, par Simon Stevin de Bruges» (Leyden, M.D.LXXXV) — сочинение, известное как «Десятина», где нидерландским математиком Симоном Стевином (Simon Stevin van Brugghe, 1548—1620) впервые вводятся десятичные дроби, издано Кристофом Плантином (Christoffel Plantijn, 1520—1589)
• таблица простых чисел до 750, напечатанная математиком Катальди (Cataldi, 1545–1626) в Болонье в 1603 году
• арифметика Авраама Нидерлендера на еврейском языке по Илии Мизрахи и нееврейским источникам «םהדבאתידב» (Прага, 1609)
• арифметика раввина (Иммануила) Менахема Циона Порто Когена из Падуи (ум. ок. 1636–60) «דבוע דחוםל» (Венеция, 1627)
• трактат об арифметике, алгебре, геометрии и тригонометрии, астрономии, физики и химии на еврейском языке «םליא» («Elim» — рыскание) Иосифа Соломона Дельмедиго (1591–1655), из робости приписавшего свои собственные взгляды Зераху и Моисею бен-Меер из Меца, (Амстердам, 1629)
• арифметика на идиш Арии Лейба Шамеса (Писаря) «ןובשחח תעירי» (Амстердам, 1690)
• Магницкий Л.Ф. «Арифметика, сиречь наука числительная. С разных диалектов на славенский язык переведенная, и во едино собрана и на две книги разделена. Ныне же повелением благочестивейшего Великого Государя нашего царя и Великого Князя Петра Алексеевича всея Великия и Малые и Белые России самодержца. При благороднейшем Великом Государе нашем царевиче и великом князе Алексии Петровиче, в богоспасаемом царствующем великом граде Москве типографским тиснением ради обучения мудролюбивых российских отроков, и всякого чина и возраста людей на свет произведена первое, в лето от сотворения мира 7211, от рождества же по плоти Бога слова 1703, индикта 11 месяца ианнуария. Сочинися сия книга чрез труды Леонтия Магницкого»,— Москва, 1703, 326 л. — первая печатная арифметика в России.
• «Arithmetica universalis, sive de compositione et resolutione arithmetica liber» Исаака Ньютона (1707, 1722)
• арифметика на еврейском языке Моисея Хаима Айзенштата «תמבח דפםמה» (Дигернфурт, 1712)
• «Универсальная арифметика» Леонарда Эйлера (Санкт–Петербург, 1768)
• «Алгебра или вычисление конечных» Н.И. Лобачевского (Казань, 1834)
• «Scritti di Leonardo Pisano mathematico del secolo decimoterzo pubblicato da Baldassarre Boncompagni»,— Roma: Tipografia delle Scienze Mathematiche e Fisiche, 1857 — латинский текст «Liber Abaci» Леонардо Пизанского Фибоначчи
• «Папирус Ринда (Ахмета)» — куплен на Луксорском базаре шотландским любителем древностей Александром Генри Риндом в 1858 году, опубликован в 1870 году в Лондоне А.Б. Чейзом
• «De numeris datis» Иордана Неморария в 1877 году опубликована Жозефом–Петером Трейтлейном с базельской рукописи и Максом Курце в 1891 году — с мюнхенской рукописи; на текст обратил внимание Мишель Шаль (1793–1880) в 1841 году. Иордан Неморарий был известен математическими сочинениями с XVI века (например, его «Arithmetica libris X demonstrata» публиковалась в 1496 и 1514 годах в Париже, «Algorithmus demonstratus» — в 1534 году в Нюрнберге, «Liber Jordani Nemorarii viri clarissimi de p onderibus propositiones XIII etc.» там же в 1533 году). Автора этих сочинений историки относили к XI—XV векам, пока итальянский историк науки Бальдассарре Бонкомпаньи (1821–1894) не отождествил его с доминиканским магистром Иорданом Саксонским, умершим в 1236 году

Арифметические анекдоты

• «А потом принялись за четыре действия Арифметики: Скольжение, Причитание, Умиление и Изнеможение». (Л. Кэррол «Алиса в стране чудес и в Зазеркалье», М.; Наука, 1978, с. 78)

Дословно в книге говорится: «Различные ветви арифметики — это амбиция, ненормальность, обезображивание и очковтирательство.» (... then the different branches of Arithmetic — Ambition, Distraction, Uglification, and Derision.) Английские слова подобраны по их созвучию с четырмя действиями арифметики.

• «Понятие об отрицательных числах возникло у индейцев в 6—11 вв.» (Новый Энциклопедический Словарь, М.: БРЭ, Рипол Классик, 2002, с. 1353, «Число»)

• «... к 3500 году до н.э. египтяне значительно переросли примитивную неспособность уверенно оперировать большими числами. На жезле фараона тех лет зафиксировано пленение 120000 человек, захват 400000 волов и 1422000 коз.» (Белл Э.Т. «Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней»,— М.: Центрполиграф, 2014, стр. 19)

См. также

• Диофант
• Евклид
• Наука
• Папирус Ринда
• Пьер Ферма

Литература

1. «Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона, в 86 томах»,— СПб, 1890–1907
2. Башмакова И.Г. «Диофант и диофантовы уравнения»,— М.: Наука, 1972, 68 с.
3. Иосиф Флавий «Иудейские древности, в 2–х томах»,— М.: Ладомир, 2002, 784+613 сс.
4. Диоген Лаэртский «О жизни, учениях и изречениях знаменитых философов»,– М.: Мысль, 1986
5. Депман И.Я. «История арифметики»,– М.: КомКнига, 2006
6. «Математическая энциклопедия, в 5–ти томах»,— М.: «Советская энциклопедия», 1977–1984, 1152+1104+1216+1184+1248 сс.
7. Делоне Б.Н. «Петербургская школа теории чисел»,— М.–Л.: Издательство АН СССР, 1947, 419 с.
8. Ньютон И. «Всеобщая арифметика, или книга об арифметических синтезе и анализе»,— М.: Издательство Академии Наук СССР, 1948, 444 с.

Ссылки

• Распределение во времени упоминаний термина «арифметика» на русском языке
• Распределение во времени упоминаний термина «arithmetic» на английском языке
• Распределение во времени упоминаний термина «arithmétique» на французском языке
• «О Леонтии Филлиповиче Магницком»
• Энциклопедия целочисленных последовательностей Нила Слоана
• Stanford Encyclopedia of Philisophy: Frege's Logic, Theorem, and Foundations for Arithmetic