Лобачевский, Николай Иванович

Бюст Н.И. Лобачевского, аллея учёных МГУ на Воробьёвых горах

Николай Иванович Лобачевский (1792, Нижний Новгород – 24 февраля 1856, Казань) — российский учёный, математик, организатор науки. Занимался математическим анализом, алгеброй, прикладной математикой, механикой и изобретательством. Известен как создатель неевклидовой геометрии

«Напрасное старание со времен Евклида, в продолжении двух тысяч лет, заставило меня подозревать, что в самых понятиях еще не заключается той истины, которую хотели доказать и которую поверить, подобно другим физическим законам, могут лишь опыты, каковы, например, Астрономические наблюдения.» Н.И. Лобачевский, 1835

Биография

Относительно даты рождения Н.И. Лобачевского имеются разногласия:

• 22 октября 1793 года ([1,2])
• 1792 или 1793 гг. ([6])
• 1 декабря 1792 года ([7])
• 20 ноября (1 декабря) 1792 года ([8])
• 1793 год (на бюсте аллеи учёных МГУ, на Воробьёвых–Ленинских Горах, примерно 1952 года)

Не вполне ясно и место его рождения — в г. Макарьеве, Макарьевском уезде или в Нижнем Новгороде. Согласованность в этих вопросах была достигнута лишь к столетию со дня смерти Н.И. Лобачевского в 1956 году, благодаря усилиям нижегородского архивариуса Ивана Ивановича Вишневского и академика Александра Александровича Андронова, который в конце 1940–ых писал Президенту АН СССР С.И. Вавилову:

«неясности в отношении места рождения Н.И. Лобачевского, в дате его рождения, в занятиях и общественном положении его родителей: а) не позволяют составить доброкачественную биографию Н.И. Лобачевского (конечно, в той ее части, которая касается его происхождения и его детских и юношеских лет), не позволяют отметить место его рождения (в г. Горьком или в г. Макарьеве Горьковской обл.) постановкой памятника или мемориальной доски.»

В результате исследования А.А. Андроновым архивных и церковных документов, было решено, что «величайший русский математик Николай Иванович Лобачевский родился в Нижнем Новгороде (теперь г. Горький) 20 ноября 1792 г. (по старому стилю)». Было определено и место, где находился дом его матери, Прасковьи Александровны Лобачевской (1765–1840).

Герб Н.И. Лобачевского, 1838

О детстве Николая Лобачевского известно очень мало, поскольку он, очевидно, скрывал подробности своего происхождения. Предполагается, что его отец Иван Максимович Лобачевский (1760–1800) был сыном обрусевшего поляка Максима Васильевича, певчим и приказчиком князя М.И. Долгорукого, женившегося на крепостной этого князя Аграфене Андреевне и получившего вольную в 1775 году. Иван Максимович служил в межевой канцелярии различных губерний с 1777 года, получая там жалования 60 рублей в год, и дослужившийся в 1786 году до чина губернского регистратора (14–го, низшего из возможных, соответствующего воинскому званию прапорщика), получив вскоре место в Нижнем Новгороде. Приблизительно в это время он женился на Прасковье Александровне (существует предположение, что её девичья фамилия — Вышеславцева, а её отец Александр Игнатьевич Вышеславцев в 1786 году по каким–то причинам застрелился, ранив при этом и жену, а дочь отправили из Москвы к родственникам в провинцию). В 1789 году Иван Масимович вышел в отставку по болезни. Примерно с 1790 года его супруга жила отдельно от него, а её дети — Александр (1791 г.р.), Николай (1792 г.р.) и Алексей (1795 г.р.) считались «воспитанниками» землемера капитана (титулярного советника) Сергея Степановича Шебаршина, умершего от длительной болезни в 1797 году, а по законам Российской империи «воспитанничество» могло означать их незаконнорожденность. Впрочем, эта версия покоится на косвенных свидетельствах церковных исповедных книг и догадках советских историков.

Из этих же исследований вытекает, что братья Лобачевские выросли в зажиточной и культурной семье — у них был свой дом, земля и дворовые слуги (крепостные), С.С. Шебаршин окончил Московский университет и на своей должности получал около 300 рублей в год, мать была образованной дворянкой. В Нижнем Новгороде братья окончили бесплатное 4–х классное Главное народное училище, позднее ставшее всесословной губернской гимназией.

В 1802 году Прасковья Александровна переезжает в г. Макарьев Нижегородской губернии, а все её сыновья поступают в Казанскую гимназию на казённый кошт. Старший из братьев — Александр — показывал изрядные способности во время учения в гимназии и университете, по отзывам опережая остальных братьев, но он утонул в 1807 году во время купания в реке Казанке. Младший брат — Алексей — прожил долгую жизнь, он скончался 1 марта 1870 года.

С 1807 года по 1811 год Николай учится в Казанском университете, где о нём сохранён нелицеприятный рапорт начальства:

«Худое поведение студента Николая Лобачевского, мечтательное о себе самомнение, упорство, неповиновение, грубости, нарушения порядка и отчасти возмутительные поступки; оказывая их, в значительной степени явил признаки безбожия.»

По сохранившимся свидетельствам, Лобачевский, будучи студентом, неоднократно нарушал казарменный режим, запускал ночью пиротехнические ракеты во дворе университета, издевался над молодыми преподавателями, однажды проехался перед лицом ректора И.Ф. Яковкина на корове. За эти проделки его сажали в карцер, лишали книжного пособия.

«В университете сохранился, не раз слышанный мною, рассказ об одной шалости Лобачевского во время его студенчества. Однажды, в весёлой компании, Николай Иванович держал пари с одним товарищем, что перепрыгнет через ректора университета Никольского, профессора как раз математики. И вот, выбрав момент, когда Никольский, довольно тучный человек, окончив свою лекцию, медленно спускался по лестнице в нижний этаж университета, Лобачевский бежит сверху, упирается обеими руками в плечи Никольского и перепрыгивает через его голову. Никольский сразу ничего ещё не мог сообразить, как перепрыгнувший уже убежал. Но, конечно, немедленно стало известным, что эту проделку сделал Лобачевский. Собрался профессорский Совет и решил, что подобную шалость невозможно простить. Лобачевскому грозило исключение из университета и крушение всей будущей учебной карьеры. Но тут вступился за него сам пострадавший Никольский, говоря, что Лобачевский вызывает слишком большие способности к математике. «Нет,— заявил он,— такого студента нельзя исключить».И только благодаря этому благородному отношению профессора озорник остался в университете и мог окончить курс.» (Из воспоминаний П.П. Перцова (1824—1909), выпускника Казанского университета 1846 г.)

Надо отметить, что и в гимназическом возрасте один учитель предрекал Николаю Лобачевскому, что он непременно станет разбойником. Остепенившись, Николай Иванович не любил вспоминать об этом.

Видимо, благодаря заступничеству учителя, профессора Иоганна Мартина Христиана Бартельса (1769–1836) (в молодости учившего математике К.Ф. Гаусса) и других немецких профессоров, ценивших способного студента, в 1811 году (в [3, стр. 5] указывают 1814 год) Николай Лобачевский получает степень магистра, защитив диссертацию «Теория эллиптического движения небесных тел», и остаётся при университете для подготовления к профессорскому званию. В 1814 году он становится адьюнктом (помощником, ассистентом) чистой математики, а в июле 1816 года становится экстраординарным, а в 1822 (в [3, стр. 5] указывают 1818 год) — ординарным профессором. В это время Н.И. Лобачевский читал лекции по элементарной математике студентам и слушателям специальных государственных курсов. Кроме этого он читал курсы по астрономии, теории чисел, статике и динамике, гидростатике, гидравлике и учение о газах. Сообщают ([2]), что в молодости Лобачевский не был популярным лектором среди студентов, поскольку был очень серьёзен. Позднее он научился читать лекции доступным языком. Но писал он всегда иначе — сжато, тяжеловесно и труднопонимаемо. Профессор математики Григорий Борисович Никольский (1785—1844) — ректор Казанского университета в 1820—1823 годах — отзывался о Лобачевском:

«Хитрости у Николая Ивановича превеликие, операции претрудные — уму непостижимые.»

Н.И. Лобачевский в математике занимался, помимо геометрии, в которой прославился, также — изучением признаков сходимости рядов, рядами Фурье, несобственными интегралами, построил оригинальную теорию Г–функции Эйлера, практическими измерениями и в связи с этим теорией вероятностей. По его мнению,

«Вся математика — есть наука об измерении».

К непосредственным ученикам Н.И. Лобачевского относят: Н.О. Юферова, А. Токарева, Н.Е. Пикторова, Н.Д. Брашмана, М.И. Мельникова, И.А. Больцани, Н.Н. Зинина, А.Ф. Попова и Э.П. Янишевского.

В 1820 году Н.И. Лобачевского избирают деканом физико–математического факультета — он исполнял эту должность, с двухлетним перерывом на членство в строительном комитете, до 1825 года, когда был назначен председателем строительного комитета, где проработал до 1848 года. В 1827 году Н.И. Лобачевский был избран ректором Казанского университета и переизбирался на эту должность 6 раз подряд до 1846 года, когда согласно правилам, он должен был оставить её из–за 30 летнего стажа работы.

«Но вы, которых существование несправедливый случай обратил в тяжёлый налог другим; вы, которых ум отупел и чувство заглохло; вы не наслаждаетесь жизнию! Для вас мертва природа, чужды красоты поэзии, лишена прелести и великолепия архитектура, не занимательна история веков. Я утешаюсь мыслию, что из нашего Университета не выйдут подобные произведения растительной природы; даже не войдут сюда, если к несчастию уже родились с таким назначением, не выйдут, повторяю, потому что здесь продолжается любовь славы, чувство чести и внутреннего достоинства. ... Человек знает наслаждения, ищет их с выбором, утончает их, но он знает также то, чего бы лучше не знать; знает, что он должен умереть… Смерть, как бездна, которая всё поглощает, которую ничем наполнить нельзя; как зло, которое ни в какой договор включить не можно, потому что она ни с чем не идёт в сравнение. Но почему же смерть должна быть злом? Мы живём одно настоящее мгновение; прошедшее всё равно как бы не существовало; с будущим – последует то же. Когда смерть придёт, тогда всё равно, сколько мы не прожили. Будем же дорожить жизнью, пока она не теряет своего достоинства. Пусть примеры в Истории, истинное понятие о чести, любовь к отечеству, пробуждённая в юных летах, дадут заранее то благородное направление страстям и ту силу, которые дозволяют торжествовать над ужасом смерти.» (из ректорской речи Н.И. Лобачевского на торжественном собрании Казанского университета 5 июля 1828 года)

Место ректора после Н.И. Лобачевского занял выпускник Казанского университета 1812 года астроном Иван Михайлович Симонов (1794—1855), участник кругосветной экспедиции Ф.Ф. Беллинсгаузена и М.П. Лазарева 1819—1821 годов, открывшей 16 января 1820 года Антарктиду. Сенат университета специальным решением оставил Н.И. Лобачевского профессором, но освободил его от заведования кафедрой, передав её А.Ф. Попову. Лобачевский в последующие годы исполнял обязанности помощника попечителя Казанского учебного округа.

После выхода на пенсию Н.И. Лобачевский продолжал научные занятия и читал лекции для избранной публики, но вскоре стал слепнуть и не мог ходить без посторонней помощи. В Казанском университете он стал получать гораздо меньше уважения, чем прежде, были даже насмешки со стороны студентов над слепым стариком. В 1855 году Н.И. Лобачевский сумел издать свою «Пангеометрию». Он умер 12 февраля (24–го февраля по н.ст.) 1856 года. Последними словами Н.И. Лобачевского были:

«И человек родился, чтобы умереть».

На надгробном памятнике его написано:

«Член общества Геттингенских северных антиквариев, почётный попечитель и почётный ректор Казанского Императорского университета и многих орденов кавалер Н.И. Лобачевский»

Н.И. Лобачевский в свои последние годы

Внешность Н.И. Лобачевского в последние годы жизни передал казанский профессор Н.П. Вагнер:

«Николай Иванович был человеком высокого роста, худощавым, несколько сутуловатым, с головой, почти всегда опущенной вниз, что придавало ему задумчивый вид. На этой гениальной голове была целая шапка густых темно–русых волос, которые слегка курчавились и торчали вихрами во все стороны. Под этими волосами кожа и мускулы были необыкновенно подвижны, так что Николай Иванович мог надвигать свои волосы почти до бровей. В последние годы его жизни они совсем поседели — не столько от лет, сколько от горя и житейских невзгод. Глубокий взгляд его темно–серых глаз был постоянно угрюмым, а сдвинутые брови его расправлялись в очень редкие минуты веселого расположения,— минуты, в которых Лобачевский поражал слушавших его необыкновенным добродушным юмором.

Характер его был удивительно ровным, речь — тихой. Он говорил плавно, но медленно, как бы обдумывая каждое слово. Во всех его словах сквозила необыкновенная рассудительность». ([2])

Н.П. Вагнер оставил воспоминание, что Лобачевский любил курить трубку с длинным чубуком и в отношениях с подчинёнными был хладнокровным и гуманным руководителем.

Студенты Казанского университета описывали Н.И. Лобачевского по–разному (см. [20]):

«... памятен помощник попечителя Н.И. Лобачевский. Это был высокий, худой человек с густыми бровями и угрюмым лицом, на котором никто никогда не видал улыбки. ... Н.И. Лобачевский , помимо своих прекрасных душевных качеств, славился и как математик. Почему он был знаменит в математическом отношении я, по некомпетентности, сказать не могу, знаю только, что существовала алгебра Лобачевского. В последнее время своей службы и жизни Лобачевский был как бы не в себе, и случай, рассказанный П.Д. Боборыкиным в его романе «В путь–дорогу» о том, как Николай Иванович в большой актовой зале, во время экзамена из богословия и в присутствии архиерея, надел на голову шапку,— действительно совершившийся факт.» (А.М. Полиновский, выпускник 1852 года)

«Лобачевский был среднего роста, посредственного телосложения, сухощавый, флегматического темперамента, пасмурной наружности, глаза его блистали умом, на губах нередко скользила ироническая улыбка.» (П.М. Коринфский, выпускник 1855 года)

Писатель П.И. Мельников–Печерский вспомнил Лобачевского времени своего учения в Казанском университете:

«К достоинству ректора и власти его студенты имели благоговейное уважение. Кому ректор сделает замечание, лица, бывало, на том нет; ночи две, бывало, не спит студент после ректорского спокойного, холодного, бесстрастного выговора. Над другими, бывало, и остришь, других и на смех поднимаешь в приятельском кружке, но, сохрани Бог, сказать неуважительное слово о ректоре — весь университет станет на дерзкого».

С именем Н.И. Лобачевского связывают расцвет Казанского университета, после периода реакции и мракобесия, продолжавшегося с 1819 года по 1826 год, когда попечитель, религиозный энтузиаст М.Л. Магницкий предлагал даже разрушить само здание университета, как рассадника вольнодумства и атеизма. Лобачевский привёл в порядок богатейшую библиотеку Казанского университета (пополненную собранием книг Г.А. Потёмкина),— с 1825 года до 1835 был университетским библиотекарем, исполняя эту работу даже будучи ректором. Кроме библиотеки, Н.И. Лобачевский основал в Казанском университете физический кабинет и астрономическую обсерваторию. По его инициативе в гимназии и университете стали преподавать гимнастику и искусства.

В управлении университетом Н.И. Лобачевский проявлял большой такт и дипломатичность. Организаторские способности его проявились также и во время холерной эпидемии 1830 года. Лобачевский распорядился устроить в университете строжайший карантин, благодаря которому смертность среди студентов и преподавателей была гораздо ниже, чем в Казани и губернии. Эти старания ректора были отмечены похвалой императора Николая I и бриллиантовым перстнем.

29 апреля 1838 года за заслуги на службе и в науке Н.И. Лобачевскому было пожалован чин действительного статского советника (4–й в табели о рангах, соответствующий воинскому званию генерал–майора), дворянство и дан герб: «Щит разделен на две части, из коих в верхней в красном поле изображены шестиугольная из двух золотых треугольников составленная звезда и летящая вверх пчела, а в нижней в голубом поле стрела и серебряная подкова, шипами вверх обращаются. Щит увенчан дворянским клеймом и короною с тремя на одной страусовыми перьями. Намёт на щите голубой, подложенный золотом».

Геральдические пчела, стрела и подкова означают, соответственно, — трудолюбие и целеустремлённость, приведшая к успеху. При этом, символы в верхних углах герба Лобачевского дают основание предполагать, что он состоял в масонском обществе, но упоминания его в масонских списках не обнаружены (зато замечены его контакты с иллюминатами).

Философские взгляды Н.И. Лобачевского сформировались под влиянием немецкого профессора физики Франца–Ксаверия Броннера, иллюмината и республиканца, преподававшего в 1811–1817 годы в Казанском университете педагогику. Отвлечённые философствования И. Канта Лобачевский не любил, предпочитая философию практическую, был последователем Джона Локка, а в своих ректорских речах он часто упоминает историка Шарля Пино Дюкло, моралиста Франсуа Ларошфуко, радикального философа–аббата Габриеля–Бонно Мабли и иллюмината Адольфа фон Книгге. Впрочем, в 1842 году Лобачевский заявил:

«Математик почитает для себя философию наукой бесполезной.»

Пределов отечества Н.И. Лобачевский никогда не покидал, а заняв место ректора он очень редко оставлял вверенный ему университет. Известно ([2], [20]), что в 1821 году Н.И. Лобачевский ездил в Санкт–Петербург для приобретения для университета научных приборов и книг. С октября 1836 года по январь 1837 года он был в Петербурге и в Дерпте (Тарту — здесь с 1820 года по 1836 преподавал его учитель И. Бартельс). В 1840 году Лобачевский ездил депутатом от Казанского университета на празднование двухсотлетнего юбилея университета в Гельсингфорсе (Хельсинки). В 1836 году Н.И. Лобачевский инспектировал Симбирскую гимназию. Летом 1842 года он выезжал в Пензу для инспекции учебных заведений и наблюдения солнечного затмения (26 июня по старому стилю), о котором написал несколько отчётов.

В 1842 году по представлению К.Ф. Гаусса он заочно стал членом–корреспондентом Гёттингенского королевского научного общества, но две медали Гаусса, медная и серебряная, отмечающие его членство в этом обществе, дошли до Казани только в 1856 году, после смерти Николая Ивановича.

От Российского государства Н.И. Лобачевский получил следующие ордена:

• Святого Владимира четвёртой степени, 1823
• Святого Станислава третьей степени, 1833
• Святой Анны второй степени, 1836
• Святой Анны второй степени, украшенный императорской короной, 1840
• Святого Владимира третьей степени, 1842
• Святого Станислава первой степени, 1844
• Святой Анны первой степени, 1852

Он также получил знаки за беспорочную службу на двадцатилетие (1835), тридцатилетие (1842) и сорокалетие (1852) исполнения должности.

Семейная жизнь Лобачевского не была счастливой. В 1832 году Н.И. Лобачевский женился на на богатой оренбургско–казанской помещице Варваре Алексеевне Моисеевой (1812—1885), двоюродной сестре попечителя Казанского учебного округа Михаила Николаевича Мусина–Пушкина (1793—1862), женщине вспыльчивой, азартной картёжнице и большой любительнице светских развлечений. По-началу Лобачевский ухаживал за миловидной гувернанткой Моисеевых, но женился на Варваре Алексеевне, которая оказалась женой непрактичной и глуповатой — все домашние дела в доме приходилось исполнять Николаю Ивановичу. У них в начале супружества было две деревни в Казанской губернии: одна,— Полянки, — приданое супруги, другую,— Слободку,— он купил сам. Николай Иванович любил заниматься сельским хозяйством, в особенности садоводством, пчеловодством и овцеводством. И в этом занятии он проявил дух новаторства, к великому возмущению помещиков–соседей. Но его эксперименты по обработке овечей шерсти заслужили серебряную медаль от Императорского Московского общества сельского хозяйства. С 1834 года Лобачевский состоял в Императорском Казанском экономическом обществе председателем одного из отделений. Впрочем, его имения приносили мало дохода. Вдобавок к этому, брат Варвары Алексеевны проиграл в карты и своё, и сестринское имущество. Все имения Лобачевских были проданы за долги, а казанский дом оказался заложен. Супруга в этих несчастиях корила только Николая Ивановича.

Надгробие Н.И. Лобачевского, Казань, 2006

В семье Лобачевских родилось 15 детей, из которых известно лишь о некоторых:

• Алексей (1833—1852) — учился в университете на математическом факультете и проявлял способности, но был бездельником и кутилой, умер от скоротечной чахотки при жизни отца;
• Николай (1835—1901) — учился в университете на математическом факультете, но бросил учёбу и поступил в Кирасирский полк. Там не ужился с начальством и вышел в отставку, поступил в интендантство, но вскоре допустил какую–то растрату провианта и попал под суд, оказавшись в Сибирской ссылке. Его дети учились плохо — один стал казачьим сотником в Оренбурге, другой — телеграфистом в Самаре. С 1893 года получал пенсию от Министерства народного просвещения. Написал немного сумбурные мемуары о своём отце;
• Надежда (1837— ?) — умерла в младенчестве;
• Варвара (1843—1896 или 1904) — в замужестве Ахлопкова, скоро развелась и жила с родителями. После смерти отца жила с матерью в Петербурге на её пенсию. После смерти матери осталась почти без средств к существованию и даже не смогла приехать на празднование юбилея отца. С 1893 года Министерство народного просвещение, в память об отце, выплачивало ей небольшую пенсию;
• Надежда (1844—1846);
• Александр (1846—1892);
• Софья (1849 или 1852—1871) — в замужестве Казина;
• Алексей (1853—1883) — будто бы был душевно больным от рождения.

В конце XIX века была учреждена «Премия имени Н.И. Лобачевского Казанского физико–математического общества». Её первым лауреатом в 1897 году стал Софус Ли, а позднее её получали В. Киллинг (1900), Д. Гильберт (1902), Л. Шлезингер, Ф. Шур (1912), Г. Вейль (1927), Э. Картан (1937) и В.В. Вагнер (1937).

После Второй Мировой Войны вручение премии перешло в ведение АН СССР и её стали выдавать «за выдающиеся работы в области геометрии», после чего её получили Н.В. Ефимов (1951), А.Д. Александров (1951), А.В. Погорелов (1959), Л.С. Понтрягин (1966), Х. Хопф (1969), П.С. Александров (1972), Б.Н. Делоне (1977), С.П. Новиков (1980), А.Н. Колмогоров (1986), Ф. Хирцебрух (1989), В.И. Арнольд (1992) , Г.А. Маргулис (1996), Ю.Г. Решетняк (2000), Чжень Шен–Шень (2002).

К столетию со дня рождения Лобачевскому был установлен бюст–памятник в Казани, исполненный Марией Львовной Диллон. B 1895 году была учреждена медаль «Памяти Н.И. Лобачевского», которую сначала давали рецензентам работ, представленных на премию Н.И. Лобачевского — первым её получил Феликс Клейн. В 1991 году было возобновлено вручение медали Н.И. Лобачевского «За выдающиеся работы в области геометрии» — присуждается Учёным Советом Казанского государственного университета один раз в пять лет российским или зарубежным учёным. Её получали — А.П. Норден (1992), Б.П. Комраков и М. Громов (1997).

В 1970 году именем Лобачевского назван кратер диаметром 84 км на обратной стороне Луны (9.9^оN, 112.6^oE).

Неевклидова геометрия

«Метафизическая достоверность вытекает из метафизической же очевидности, например: согласно имеющемуся в геометрии положению, что углы треугольника равны двум прямым, метафизически, т.е. столь же абсолютно, невозможно, чтобы этого не было, как невозможен квадратный треугольник.» (аббат Ж.–М. де Прад «Энциклопедия Дидро и Д'Аламбера», 1752)

«Сама мораль заинтересована в доказательстве евклидова постулата, так как если достоверность покидает даже математиков, то, увы, что станется с моральными ценностями!» (заявление неизвестного французского математика около 1900 года, переданное Жюлем Андраде)

В «Началах» Евклида есть утверждение, называемое либо V–ым постулатом, либо 11–ой аксиомой (современная классификация аксиом и постулатов Евклида была произведена И.Л. Гейбегером, в его издании «Начал» 1883–88 годов), которое заявляет, что при пересечении пары параллельных прямых третьей, сумма внутренних углов равна двум прямым углам. Геометры давно заметили, что большое количество теорем не опираются на это утверждение, которое само по себе не имеет элементарного вида, — откуда возникло предположение, что оно следует из остальных аксиом геометрии Евклида.

Н.И. Лобачевский первым из математиков последовательно и упорно изучал V постулат, начав с попыток доказать его, но в конце–концов убедившись в возможности существования новой неевклидовой геометрии, где это утверждение не выполняется. Такую геометрию Лобачевский называл «воображаемой», поскольку до развития дифференциальной геометрии не существовало математического аппарата для построения неевклидовых моделей. Свою работу Н.И. Лобачевский продолжал всю свою жизнь, вопреки ожесточённой критике учёных коллег и пасквилям «образованной» публики. При жизни ему посчастливилось выслушать благосклонные отзывы лишь дважды — от К.Ф. Гаусса, который много лет в тайне занимался аналогичными изысканиями и от своего казанского коллеги, профессора прикладной математики П.И. Котельникова.

«При этом случае не могу умолчать о том, что тысячелетние тщетные попытки доказать со всей математической строгостью одну из основных теорем геометрии, равенство суммы углов в прямолинейном треугольнике двум прямым, побудили достопочтенного заслуженного профессора нашего университета г–на Лобачевского предпринять изумительный труд построить целую науку, геометрию, на новом предположении: сумма углов в прямолинейном треугольнике меньше двух прямых — труд, который рано или поздно найдёт своих ценителей.» (речь П.И. Котельникова «О предубеждении против математики», 1842)

Слава «Коперника геометрии» (выражение немецкого математика Феликса Кляйна) пришла к Лобачевскому посмертно, накануне его столетнего юбилея. Помимо общепризнанного авторитета в данной области, основной заслугой его можно считать научное бесстрашие и преданность математической истине, на которые не оказались способными его предшественники.

Фактически, до аналитических работ Леонарда Эйлера (Euler, 1707–1783) в математике не существовало средств для выведения содержательных следствий отрицания постулата о параллельных, и тем самым — для построения неевклидовой геометрии.

Мифологическакя биография Омара Хайяма, написанная уже после кончины Н.И. Лобачевского, содержит сообщение о том, что этот персидский учёный предпринял попытку доказательства пятого постулата в работе «Комментарии к трудным местам Евклида», при чём сам постулат там присутствует в виде, сформулированном шотландским математиком Джоном Плейфером (1748–1819) в «Началах геометрии» 1795 года:

«Существует только одна прямая параллельная данной, проходящая через данную точку.»

Впрочем, современные историки науки утверждают, что эта формулировка встерчалась у античного комментатора Евклида Прокла Диадоха (якобы, 410–485 гг. н.э.).

Российские историки математики Борис Абрамович Розенфельд и Рустам Султанов в 1951 году нашли попытки доказательства V постулата у арабского математика Насир–Эддина Мерагского (Абу–Джафар Мухаммед ибн–Гасан аль–Тузи, якобы 1201—1274).

Первая достоверная известная, но ошибочная попытка обоснования евклидова постулата о параллельных принадлежит итальянскому учёному–иезуиту Джованни Джироламо Саккери (Saccheri, 1667–1733) в работе «Euclides ab omni naevo vindicatus» («О порочности утверждений Евклида», Милан, 1733) — её обнаружили в конце XIX века, когда работы Н.И. Лобачевского были поняты и подтверждены.

Немецкий математик Георг Симон Клюгель (Klügel, 1739–1812) в «Обзоре важнейших попыток доказательства теоремы о параллельных линиях» (Гёттинген, 1763) рассмотрел около 30 различных ошибочных «доказательств» V постулата.

Немецкий математик, философ, физик и астроном Иоганн Генрих Ламберт (Lambert, 1728–1777), безуспешно пытаясь доказать V постулат, будто бы пришёл к выводу о невозможности такого доказательства и получил какие–то начальные теоремы, следующие из отрицания V–го постулата.

Французский математик, член Парижской АН Адриен Мари Лежандр (Legendre, 1752–1833) с 1794 года по 1832 год в двенадцати изданиях своего образцового учебника «Начала геометрии» раз за разом давал новые «доказательства» V постулата, исправляя ошибки предыдущей версии. Перевод его книги был издан в России в 1819 году, стал популярен и был хорошо известен Н.И. Лобачевскому, который упоминает его в своих работах.

Немецкий юрист Фердинанд Карл Швейкарт (Schweikart, 1780–1857), занимавший кафедру права Харьковского университета в 1812–1816 годах, в 1817 году написал письмо К.Ф. Гауссу где доказывал существование «астральной» геометрии, в которой сумма внутренних углов треугольника меньше двух прямых. Его идея была негласно поддержана Гауссом, что выяснилось после опубликования переписки Гаусса с астрономом Генрихом Христианом Шумахером в 1860–1865 годах. Упоминается книга Швейкарта «Теория параллельных с предложением их изгнания из геометрии», будто бы опубликованная в 1807 году.

Немецкий юрист и математик Франц–Адольф Тауринус (Taurinus, 1794–1874), племянник Ф. Швейкарта, в работах «Theorie der Parallellinien» (Кельн, 1825) и «Gеоmetriae prima elementa» (Кельн, 1826) пришёл к возможности существования неевклидовой геометрии. Он вступил в переписку с Гауссом, но отношения у них не заладились и Тауринус сжёг свои брошюры. Его работа также стала известна лишь в конце XIX века, когда была обнаружена математиком Фридрихом Энгелем (Engel, 1861–1941).

Венгерский математик и инженер Янош Больяи (Бояи, Бойай, Boljai, 1802–1860) в 1825 году пришёл к основным положениям неевклидовой геометрии, которые опубликовал в приложении к книге отца, Фаркаша (Вольфганга) Больяи 1832 года (иногда указывают 1831 год). К.Ф. Гаусс, будучи другом Фаркаша Больяи, неофициально высказал одобрение работе его сына. Уже после смерти Гаусса в его черновиках обнаружили давние записи, относящиеся к проблеме обоснования постулата о параллельных.

Медаль им. Н.И. Лобачевского

Н.И. Лобачевский написал рукопись гимназического учебника о геометрии в 1823 году, послав её на отзыв попечителю Казанского учебного округа М.Л. Магницкому. Тот передал рукопись бывшему ученику и помощнику Леонарда Эйлера академику и секретарю Санкт-Петербургской академии Николаю Ивановичу Фуссу (1755–1826), который, будучи сам автором учебников по геометрии, дал резкий отрицательный отзыв на неё, порекомендовав её исправить. Лобачевский от исправлений отказался и даже не потрудился забрать свой труд обратно. Эта рукопись была обнаружена в 1898 году в архиве канцелярии попечителя Казанского учебного округа Н.П. Загоскиным и была опубликована в Казани в 1910 (или 1909) году. Фусс, в частности писал:

«... если сочинитель думает, что оно может служить учебною книгою, то он сим доказывает, что он не имеет точного понятия о потребностях учебной книги, т.е. о полноте геометрических истин, всю систему начального курса науки составляющих, о способе математическом, о необходимости точных и ясных определений всех понятий, о логическом порядке и методическом расположении предметов, о надлежащей постепенности геометрических истин, о неупустительной и, по возможности, чисто геометрической строгости их доказательств и проч. О всех сих необходимых качествах и следу нет в рассмотренной мною геометрии».

Н.И. Фусса также возмущали нововведения Н.И. Лобачевского — применение метрической системы мер и стоградусного деления прямого угла:

«Известно, что сие разделение выдумано было во время французской революции, когда бешенство нации, уничтожить прежде бывшее, распространилось даже до календаря и деления круга, но сия новизна и в самой Франции давно уже оставлена».

Иногда сообщают, что в том же 1823 году Н.И. Лобачевский написал рукопись по неевклидовой геометрии, отправив её тому же Магницкому, также забракованную Фуссом. Будто бы, её тоже обнаружили в самом конце XIX века, в архиве Казанского университета. По всей видимости, здесь идёт речь о рукописи упомянутого гимназического учебника, в котором обозначен замысел его будущей работы:

«Строгого доказательства сей истины, говорит Лобачевский о постулатуме Евклида, до сих пор не могли сыскать; какие были даны, могут назваться только пояснениями, но не заслуживают быть почтены в полном смысле математическими доказательствами».

Рукопись по неевклидовой геометрии «Сокращённое изложение начал геометрии» («Exposition succincte des principes de la Géométrie») Н.И. Лобачевский написал в 1826 году, представив её 12 февраля на физико–математическом отделении Казанского университета. Рукопись не была опубликована, встретив молчаливое неодобрение коллег, оказалась потерянной, но частично вошла в мемуар «О началах геометрии», опубликованный в «Казанском вестнике» за 1829–1830 гг. Николай Иванович прислал мемуар в Академию наук, где он попал на отзыв к выдающемуся математику своего времени М.В. Остроградскому (1801–1861). Остроградский написал высокомерный, презрительный и в одном математическом месте ошибочный (как позднее доказал В.Ф. Каган ) рапорт, зачитанный в Академии 7 ноября 1832 года. Академики, вослед за Остроградским не понявшие сути проблем и методов, дали на работу Лобачевского отрицательный отзыв, занеся его в протокол:

«... работа выполнена с таким малым старанием, что большая часть её непонятна». ([3, стр. 162])

В 1834 году в объединённом №41 Санкт–Петербургского журнала Н.И. Греча и Ф.В. Булгарина «Сын Отечества, Северный Архив» был опубликован анонимный пасквиль «О началах геометрии, соч. г. Лобачевского», где его работа называлась «сатирой на геометрию». Автор пасквиля достоверно не определён, но имеются разные предположения,— например, что заметка инспирирована математиком М.В. Остроградским и написана его знакомыми С.И. Зеленым и С.А. Бурачеком; другие считают, что Остроградский не имеет к ней отношения, а её написал педагог Ф.И. Буссе; современники предполагали её автором ученика самого Лобачевского — Н.Д. Брашмана, который с 1834 работал в Московском университете, а в 1855 был избран членом–корреспондентом Санкт–Петербургской Академии наук.

Любопытно, что сохранились воспоминания студентов, слушавших лекции, как Остроградского, так и Лобачевского. Их вывод был таков:

«Остроградский — поэт, а Лобачевский — философ».

Возможно, что это различие обусловило неприязнь Остроградского, который частным образом заявлял:

«Лобачевский не дурной математик, но если надобно показать ухо, то он покажет его сзади, а не спереди.»

В 1835 году в «Ученых Записках Казанского Университета» Н.И. Лобачевский опубликовал «Воображаемую геометрию», в 1835–1838 там же — «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных линий», где дано полное и систематическое изложение его теории.

В 1840 году в Берлине на немецком языке издана «Геометрические исследования по теории параллельных линий» («Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien», издательство G. Fincke, 61 с.), которую высоко оценил К.Ф. Гаусс (C.F. Gauss, 1777–1855), предложивший Н.И. Лобачевского к избранию членом–корреспондентом Гёттингенского общества наук, как «одного из выдающихся математиков Российской империи». Янош Больяи, ознакомившись с этим мемуаром, обвинил К.Ф. Гаусса в плагиате своих работ и бросил заниматься математикой.

В июне 1842 года на отзыв М.В. Остроградского попадает аналитическая работа Н.И. Лобачевского «О сходимости бесконечных рядов», напечатанная в 1841 в Казанском университете. Теперь Николай Иванович посягнул на область, в которой Михаил Васильевич считался специалистом мирового уровня. Наказание дерзкого ректора–провинциала не заставило себя ждать. М.В. Остроградский в своём рапорте для Академии обрушивает на работу своё высокомерие и сарказмы, не скрывая, что не стал разбираться в этом «причудливом и странном» мемуаре человека, уже опороченном перед Академией гораздо ранее.

Последний труд Н.И. Лобачевского по неевклидовой геометрии «Pangéometrie ou précis de géométrie fondée sur une théorie générale et rigoureuse des parallèles» (Пангеометрия) опубликован в научных записках Казанского университета на французском языке в 1855 году (иногда указывают 1856 год).

Признание Лобачевскому стало приходить только посмертно, когда немецкий астроном Карл Фридрих Вильгельм Петерс в 1860–1865 годах издал переписку Карла Фридриха Гаусса с немецкими учёными. Французский математик и астроном–теоретик Гильом Жюль Гуэль (G.J. Houel, 1823–1886) перевел на французский язык «Геометрические исследования» Лобачевского и в 1866 году опубликовал их вместе с отрывками из писем Гаусса в «Известиях Общества физических и естественных наук г. Бордо».

Член–корреспондент РАН Константин Алексеевич Андреев (1848–1921) написал об Г.Ж. Уэле:

«... труженик науки, энергия которого не была возбуждаема никакими корыстными интересами, даже такими, как стремление к известности личными научными заслугами, составляющая слабость почти всех деятелей науки. Делая всё возможное для того, чтобы заслуги других учёных оценивались по достоинству, он не оставлял себе времени, чтобы заявить о самом себе, как о более или менее солидном научном собственнике, чего без сомнения, мог бы достигнуть при другом менее безкорыстном направлении своей деятельности.» («Жизнь и научная деятельность В.Г. Имшенецкого»,— М.: Университетская типография, 1896, стр. 17–18)

Первое осторожное одобрение работ Н.И. Лобачевского в России состоялось в 1868 году, когда в III томе журнала «Математический сборник» в разделе научной хроники напечатали статью А.В. Летникова «О теории параллельных линий Н.И. Лобачевского». Кроме изложения идей казанского геометра, в статье приведены положительные отзывы К.Ф. Гаусса о нём из переписки с Г.Х. Шумахером.

Псевдосфера Э. Бельтрами

И тем не менее академик В.Я. Буняковский (1804–1889) в мемуаре «Considérations sur quelques singularités qui se présentent dans les constructions de la Géométrie non-euclidienne» («Рассмотрение некоторых странностей, имеющих место в построениях неевклидовой геометрии», Доклады Санкт–Петербургской Академии наук. 7 серия. – 1872. – Т. 18. – №7. – 16 с.), критикуя Лобачевского, ещё пытался вывести пятый постулат, дав своё оригинальное определение прямой линии и содержащее логическую ошибку доказательство. В этой работе Буняковский подытожил свои предыдущие исследования вопроса, опубликованные в 1844, 1850 и 1853 годах, в которых работы Лобачевского замалчивались.

По всей видимости, отношение Буняковского к идеям Лобачевского было сформировано под влиянием коллегиального мнения Санкт–Петербургской Академии наук, наиболее активно высказываемого потомками Леонарда Эйлера — «непременными секретарями» Академии Фуссами (Николаем Ивановичем, 1755–1826 и Павлом Николаевичем, 1798–1853) и Эдуардом Давыдовичем Коллинсом (1791–1840), а также введённым в состав Академии Коллинсом М.В. Остроградским (1801–1862). Про самого Буняковского его коллеги в 1855 написали, что он отличается «недостатком самостоятельности и энергии, при крайней скромности и уступчивости» ([16], с. 305).

Окончательное доказательство правильности идей Н.И. Лобачевского пришло с развитием дифференциальной геометрии. Ученик Гаусса Георг Фридрих Бернхард Риман (Riemann, 1826–1866) в 1854 в Гёттингене прочитал лекцию «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» («Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen»), где развил «эллиптическую геометрию», позднее названную «римановой»: учение о кривизне и расстояниях на поверхностях в пространстве. В этой теории роль прямых исполняют геодезические (линии кратчайшего расстояния). Геометрии Евклида и Лобачевского являются двумя её частными случаями. Лекцию слушал Гаусс, но текст её был был понят гораздо позднее и опубликован лишь после смерти Римана и Гаусса в 1868 году Рихардом Юлиусом Вильгельмом Дедекиндом (Dedekind, 1831–1916). Сам Риман никак не связывал свою теорию с геометрией Лобачевского.

В 1863 году итальянский математик Эудженио Бельтрами (Beltrami, 1835–1900) в работе «Опыт истолкования неевклидовой геометрии» доказал логическую непротиворечивость теории Лобачевского, предьявив «псевдосферу» — поверхность постоянной отрицательной кривизны, где локально выполняются все свойства геометрии Лобачевского.

В 1872 немецкий математик Феликс Христиан Клейн (Klein, 1849–1925) в работе «Сравнительное рассмотрение новых геометрических исследований» (Эрлангенская программа) указал глобальную модель плоскости и пространства Лобачевского.

Французский математик и философ Анри Пуанкаре (Poincare, 1854–1912) в 1882 году дал новую глобальную интерпретацию плоскости Лобачевского в рамках своей теории автоморфных функций. В его модели, более простой, чем модель Кляйна, плоскость Лобачевского изображается внутренностью круга, прямые — дугами окружностей, перпендикулярными границе круга, а углы между прямыми совпадают с углами между дугами в точках пересечения.

Важно отметить, что именно попытки доказательства непротиворечивости неевклидовой геометрии Лобачевского привлекли внимание математиков к проблеме непротиворечивости математических теорий (что необходимо для их содержательности, ибо из противоречивых предпосылок выводится любое осмысленное утверждение) и к созданию методов подобных доказательств. При этом, доказательство непротиворечивости геометрии Евклида было получено значительно позднее Д. Гильбертом в его «Основаниях геометрии» 1899 года.

Опубликованные труды

• О началах геометрии («Казанский Вестник», 1829–1830, 74 с.)
• Алгебра или вычисление конечных, 1834
• Об исчезании тригонометрических строк («Ученые Записки Казанского Университета», II, 1834, стр. 167–226)
• Воображаемая геометрия («Ученые Записки Казанского Университета», 1835, 56 с.)
• Способ уверяться в исчезании бесконечных строк и приближаться к значению функций от весьма больших чисел («Ученые Записки Казанского Университета», II, 1835, стр. 211–342)
• Условные уравнения для движения и положения главных осей обращения в твердой системе («Ученые Записки Московского университета», февраль 1835, № VIII, стр. 169–190)
• Новые начала геометрии с полной теорией параллельных линий («Ученые Записки Казанского Университета», 1835, 1836, 1837 и 1838)
• Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам («Ученые Записки Казанского Университета», 1836, 113 с.)
• Géométrie imaginaire par М-r. N. Lobatschewsky, recteur de l'Université de Cazan («Crell's Journal für die reine und angewandte Mathematik», т. 17, тетр. 4, 1837, стр. 295–320)
• Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien von Nicolaus Lobatsсhewsky, Kaiserl. russ. wirkl. Staatsrathe und ord. Prof. der Mathematik bei der Universität Kasan (Berlin: F. Finckeschen Buchhandlung, 1840, 61 pp.)
• О сходимости бесконечных рядов, 1841
• Полное затмение солнца в Пензе 26 июня 1842 г. («Ученые Записки Казанского Университета», III, 1842, стр. 51–83; «Журнал Министерства Народного Просвещения», 1843, т. XXXIX, отдел. II, стр. 65–96)
• О значении некоторых определённых интегралов («Ученые Записки Казанского Университета», IV, 1852, стр. 1–34)
• Pangéometrie ou précis de géométrie fondée sur une théorie générale et rigoureuse des parallèles, par N. Lobatscheffsky, professeur émérite de l'université de Kasan et membre honoraire de l'université de Moscou (Казань, 1855 или 1856, 79 с.)
• Pangeometrie, von N.J. Lobatschefskij. Kasan 1856. Uebers. und hrsg. von Heinrich Liebmann. Mit 30 Figuren im Text (Leipzig, 1874, 95 s.)
• Полное собрание сочинений по геометрии Н.И. Лобачевского. Издание Императорского Казанского университета, Том І, Казань, 1883, стр. І–VIII и 1–550; Том II, Казань, 1886, стр. 3–8 и 551–680
• Geometrical researches on the theory of parallels, by Nicholas Lobachevski, tr. from the original by George Bruce Halsted (Chicago, 1891, 52 p.)
• «Геометрия. Учебник для гимназии» (Казань, 1909 или 1910)
• «Геометрические исследования по теории параллельных линий»,— М.–Л.: Изд–во АН СССР, 1945, 176 с.
• «Наставления учителям математики в гимназиях» / Труды института истории естествознания. Том 2 (Под ред. С.И. Вавилова),— М.–Л., 1948, 584 с.
• Полное собрание сочинений, т. 1—5, — М.–Л.: Гостехиздат, 1946–1951
• «Три сочинения по геометрии. Геометрия. Геометрические исследования по теории параллельных линий. Пангеометрия»,— М.: ГИТТЛ, 1956, 416 с.
• «Избранные труды по геометрии» («Классики науки»),— М.: Изд–во АН СССР, 1956, 596 с.
• «Научно–педагогическое наследие. Руководство Казанским университетом. Фрагменты. Письма»,— М.–Л.: Наука, 1976, 663 с.
• «О важнейших предметах воспитания (ректорская речь в торжественном собрании Университета, 5 июля 1828)» / в кн. «Николай Иванович Лобачевский: историко–биографический сборник»,— Казань: Жиен, 2014, стр. 342–351

Научная преемственность

Иоганн Мартин Христиан Бартельс  ===>   Н.И. Лобачевский   ===>   Александр Фёдорович Попов, Николай Дмитриевич Брашман

Литература

1. «Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона, в 86 томах»,— СПб, 1890–1907
2. Литвинова Е.Ф. «Н.И. Лобачевский. Его жизнь и научная деятельность»,— СПб.: Тип. П.П. Сойкина, Стремянная, 12, 1895, 82 с. (ЖЗЛ: Биографическая б-ка Ф. Павленкова)
3. Лобачевский Н.И. «Геометрические исследования по теории параллельных линий»,— М.–Л.: Издательство АН СССР, 1945, 176 с.
4. Гнеденко Б.В. «М.В. Остроградский. Очерки жизни, научного творчества и педагогической деятельности»,— М.: Госиздательство технико–теоретической литературы, 1952, 331 с. (о Н.И. Лобачевском — стр. 160–165)
5. Каган В.Ф. «Лобачевский и его геометрия. Общедоступные очерки»,— М.: Госиздательство технико–теоретической литературы, 1955, 303 с.
6. «Шеренга великих математиков»,— Варшава: Наша Ксенгарня, 1970, 187 с.
7. Бородин А.И., Бугай А.С. «Биографический словарь деятелей в области математики. Под ред. И.И. Гихмана»,— Киев: Радянська школа, 1979, 607 с. (перевод с украинского)
8. Гудков Д.А. «Н.И. Лобаческий. Загадки биографии»,— Н. Новгород: издательство ННГУ, 1992, 242 с.
9. Модзалевский Л. Б. «Материалы для биографии Н.И. Лобачевского»,— М.-Л., Изд-во АН СССР, 1948, 828 с.
10. «Историко–математические исследования, выпуск II»,— М.–Л.: ГИТТЛ, 1949 (раздел о Н.И. Лобачевском — с. 7–230)
11. «Историко–математические исследования, выпуск III»,— М.–Л.: ГИТТЛ, 1950 (раздел о Н.И. Лобачевском — с. 9–194)
12. «Историко–математические исследования, выпуск IV»,— М.–Л.: ГИТТЛ, 1951 (раздел о Н.И. Лобачевском — с. 173–234)
13. «Историко–математические исследования, выпуск IX»,— М.–Л.: ГИТТЛ, 1956 (раздел о Н.И. Лобачевском «К столетию со дня смерти» — с. 7–400)
14. Пападопулос А. «О гиперболической геометрии и истории её признания»// Математическое просвещение. Третья серия, вып. 14.— М.: МЦНМО, 2010, стр. 10–29
15. Бухштабер В.М., Новиков С.П. «История премии им. Н. И. Лобачевского (к 100-летию первого присуждения в 1897 г.)»// УМН, 53:1 (319), 1998, стр. 235–238
16. Прудников В.Е. «Русские педагоги–математики XVIII—XIX веков»,— М.: ГУПИ МП РСФСР, 1956 (о Н.И. Лобачевском — с. 218–253; об М.В. Остроградском — с. 254–291; о В.Я. Буняковском — с. 292–323)
17. Баранец Н.Г., Верёвкин А.Б. «Методологическое сознание российских учёных. Ч. 1: XIX — начало XX века»,— Ульяновск: Издатель Качалин А.В., 2011 (о Н.И. Лобачевском — с. 333–342; об М.В. Остроградском — с. 307–318; о В.Я. Буняковском — с. 18)
18. Полотовский Г.М. «Очерки истории российской математики»,— Нижний Новгород: Изд–во ННГУ, 2015 (о Н.И. Лобачевском — с. 26–81)
19. Nikolai I. Lobachevsky «Pangeometry», European Mathematical Society, 2010
20. «Николай Иванович Лобачевский: историко–биографический сборник»,— Казань: Жиен, 2014, 656 с.

Ссылки

• Отзывы на работы Н.И. Лобачевского
• Евклид

См. также

• Фильм о библиотеке Казанского университета, созданной Н.И. Лобачевским
• страница Н.И. Лобачевского на Math-Net.Ru
• Math.ru: Лобачевский Николай Иванович
• Музей истории Казанского университета
• КГУ: медаль имени Н.И. Лобачевского
• РАН: Премия Н.И. Лобачевского
• А.Д. Александров «Лобачевского геометрия»
• MacTutor biography: Nikolai Ivanovich Lobachevsky
• Страница Н.И. Лобачевского на сайте ННГУ
• Nikolai Ivanovich Lobachevsky in Mathematics Genealogy Project
• Lobachevskii Journal of Mathematics
• Казанский университет: о Лобачевском