Арифметика
Арифметика — наука о числах, одна из древнейших математических дисциплин, первая из «свободных искусств» средневекового квадривиума
- «'Αριθμον, ἒξοχον σοφισματων»
- («Изобрёл для них науку чисел, из наук важнейшую» Эсхил «Прометей прикованный»)
Содержание
Происхождение термина
Общепринято мнение, что термин «арифметика» происходит из греческих слов:
- αριθμεω — считать, платить
- αριθμητικος — относящийся к счёту, умеющий считать
- αριθμητικη — арифметика, искусство или умение считать
Античные легенды сообщают, что люди обучились этому искусству от титана Прометея. Первыми мастерами арифметики считались халдеи, египтяне и евреи, которые использовали арифметику в гадательных целях, а затем это искусство перешло к грекам, начиная с Пифагора, которые сделали из него абстрактную науку.
Иосиф Флавий в «Иудейских древностях» сообщает, что египтяне ознакомились с арифметикой через Авраама, а потом она распространилась и к грекам:
- «Затем он преподал им арифметику и сообщил сведения по астрономии, в которых египтяне до прибытия Авраама были совершенно несведущи. Таким образом эти науки перешли от халдеев в Египет, а оттуда уже и к грекам.» ([3, ИД, 1:8])
Между прочим «Иудейская война», приписываемая тому же Иосифу Флавию в своём древнерусском варианте содержит «задачу Иосифа Флавия», относящуюся к разделу «увеселительной арифметики». Праотец Авраам считается автором первой книги каббалистического канона «Сефер Йецира» (Книга Творения), в которой излагаются начала гадательной арифметики (арифмомантии).
Греческие писатели Платон и Диоген Лаэртский, а также академик РАН В.И. Арнольд приписывают создание арифметики египетскому богу Тоту, а греческий географ Страбон — финикийцам.
Место арифметики в науке
Согласно современному определению:
- «Арифметика — область знаний о числах и операциях в числовых множествах.» ([6, т. 1, стб. 314])
Свойства операций над числами является предметом алгебры, а свойства самих чисел — теории чисел.
Аксиоматическое обоснование арифметики было завершено к концу XIX века, работами Рихарда Юлиуса Вильгельма Дедекинда (Richard Dedekind, 6.10.1831–12.2.1916) и Джузеппе Пеано (Giuseppe Peano, 27.8.1858–20.4.1932).
Арифметика чисел разного типа была обоснована:
- Карлом Теодором Вильгельмом Вейерштрассом (Karl Theodor Wilhelm Weierstraß, 31.10.1815–19.02.1897) — рациональные и вещественные числа;
- Георгом Кантором (Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, 03.03.1845–06.01.1918) — вещественные числа;
- Каспаром Весселем (Caspar Wessel, 08.06.1745–25.03.1818), Жаном Робером Арганом (Jean-Robert Argand, 18.07.1768–13.08.1822) и Карлом Фридрихом Иоганном Гауссом (Johann Carl Friedrich Gauß, 30.04.1777–23.02.1855) — комплексные числа.
На непротиворечивость арифметики вещественных чисел опирается непротиворечивость геометрии Евклида, а на последнюю — непротиворечивость геометрии Лобачевского. Вместе с тем, согласно результату Курта Гёделя (Kurt Friedrich Gödel, 28.04.1906–14.01.1978) 1931 года, непротиворечивость «формальной арифметики»,— теории, формализующей элементарную теорию чисел, недоказуема в этой системе. Герхард Генцен (Gerhard Karl Erich Gentzen, 24.11.1909–04.08.1945) в 1936 году доказал, что непротиворечивость формальной арифметики вытекает, если использовать трансфинитную индукцию, но при этом, по теореме Гёделя, недоказуема непротиворечивость расширенной системы в своих собственных рамках.
Изобретение знаков арифметических операций
- современный знак равенства «=» изобретён Робертом Рикордом (Robert Recorde, 1510–1558), математиком, астрологом и врачом английского короля Эдуарда VI в книге «Оселок остроумия»(«The Whetstone of Witte», 1557). Прототипом этого знака являлся астрологический символ созвездия Близнецов
Знаменитые арифметические задачи
Первые издания древних арифметических книг и текстов
Арифметике посвящены 7, 8 и 9 книги «Начал» Евклида: здесь излагаются алгоритм отыскания наибольшего общего делителя («алгоритм Евклида»), теоремы о простых числах, обосновываются коммутативность и дистрибутивность умножения натуральных чисел.
В «Арифметике» Диофанта излагаются правила действий со степенями, действия с отрицательными числами, используется нуль.
В «Трактате об искусстве счёта» Сакробоско содержится описание действий с натуральными числами: сложения, вычитания, умножения, деления пополам, извлечения корня, используется нуль.
Начало книгопечатания принесло множество трактатов по арифметике, часто анонимных «Алгоризмов», но иногда сохранивших имя автора: «О пропорциях» — Альберт Саксонский (Падуя, 1477), Томас Брадвардин (Париж, 1481), Никола Орем (Париж, 1481); «Книга счёта» Вагнео (Бамберг, 1482).
Другие известные тексты:
- «Opus elementorum Euclidis Megarensis in geometriam artem, in id quoque Campani commentationes» (Венеция, 25 мая 1482 г.) — первое печатное издание Евклида Эргарда Ратдольта, считающееся переводом Дж. Кампануса «Начал» с арабского языка
- «Tractatus de arte numerandi, Algorismus domini Joannis de Sacro Bosco» — пособие по арифметике Сакробоско, опубликовано в Страссбурге в 1488 году
- «Diophanti Alexandrini rerum arithmeticarum libri sex» (Basileae, 1575) — первое печатное издание Диофанта выполненное Вильгельмом Гольцманом (Ксиландром)
- «Scritti di Leonardo Pisano mathematico del secolo decimoterzo pubblicato da Baldassarre Boncompagni»,— Roma: Tipografia delle Scienze Mathematiche e Fisiche, 1857 — латинский текст «Liber Abaci» Леонардо Пизанского Фибоначчи
- «Папирус Ринда (Ахмета)» — куплен на Луксорском базаре шотландским любителем древностей Александром Генри Риндом в 1858 году, опубликован в 1870 году в Лондоне А.Б. Чейзом
- Магницкий Л.Ф. «Арифметика, сиречь наука числительная. С разных диалектов на славенский язык переведенная, и во едино собрана и на две книги разделена. Ныне же повелением благочестивейшего Великого Государя нашего царя и Великого Князя Петра Алексеевича всея Великия и Малые и Белые России самодержца. При благороднейшем Великом Государе нашем царевиче и великом князе Алексии Петровиче, в богоспасаемом царствующем великом граде Москве типографским тиснением ради обучения мудролюбивых российских отроков, и всякого чина и возраста людей на свет произведена первое, в лето от сотворения мира 7211, от рождества же по плоти Бога слова 1703, индикта 11 месяца ианнуария. Сочинися сия книга чрез труды Леонтия Магницкого»,— Москва, 1703, 326 л. — первая печатная арифметика в России.
См. также
Литература
- «Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона, в 86 томах»,— СПб, 1890–1907
- Башмакова И.Г. «Диофант и диофантовы уравнения»,— М.: Наука, 1972, 68 с.
- Иосиф Флавий «Иудейские древности, в 2–х томах»,— М.: Ладомир, 2002, 784+613 сс.
- Диоген Лаэртский «О жизни, учениях и изречениях знаменитых философов»,– М.: Мысль, 1986
- Депман И.Я. «История арифметики»,– М.: КомКнига, 2006
- «Математическая энциклопедия, в 5–ти томах»,— М.: «Советская энциклопедия», 1977–1984, 1152+1104+1216+1184+1248 стб.
